Question

對(duì)于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（Ⅰ）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
第一組：；
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）設(shè)，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，取a=1，b＞0，生成函數(shù)h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化簡h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得與相同，求出a，b判斷結(jié)果滿足題意；類似方法計(jì)算判斷第二組．
（Ⅱ）設(shè)，生成函數(shù)．化簡不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x的最小值，即可．
（Ⅲ）設(shè)，取a=1，b＞0，生成函數(shù)
使恒成立，分類討論，求出b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）①設(shè)，即，
取，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．（2分）
②設(shè)a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，
則，該方程組無解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．（4分）

（Ⅱ）（5分）
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
3h²（x）+2h（x）+t＜0，即t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x（7分）
設(shè)s=log₂x，則s∈[1，2]，y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，（9分）
y_max=-5，故，t＜-5．（10分）

（Ⅲ）由題意，得
1°若，則h（x）在上遞減，在上遞增，
則，
所以，得1≤b≤4（12分）
2°若，則h（x）在[1，10]上遞增，則h_min=h（1）=1+b，
所以，得0＜b≤1．（14分）
3°若，則h（x）在[1，10]上遞減，則，故，無解
綜上可知，0＜b≤4．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查其他不等式的解法，函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，函數(shù)恒成立問題，考查值思想，分類討論，計(jì)算能力，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．