Question

已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點。 　

　求：AM與CN所成的角的余弦值；

Answer 1

解析:

(1)連接DM,過N作NE∥AM交DM于E，則∠CNE

　為AM與CN所成的角。

　∵N為AD的中點, NE∥AM省  　∴NE=AM且E為MD的中點。

　設(shè)正四面體的棱長為1，　　則NC=·= 且ME=MD= 

　　在Rt△MEC中，CE²=ME²+CM²=+= 

∴cos∠CNE=,

　　又∵∠CNE ∈(0, )

∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為.

注：1、本題的平移點是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在△CEN外計算CE、CN、EN長，再回到△CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補角）。最后作答時，這個角的余弦值必須為正。