Question

18．證明不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）

Answer 1

分析 利用換元法，設(shè)t=1+$\frac{1}{x}$，把原不等式化為lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
再設(shè)函數(shù)f（t）=ln t-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（t）的單調(diào)性，從而證明不等式成立．

解答 證明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{t-1}}$=$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$，
原不等式化為lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
設(shè)f（t）=ln t-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，
則f′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴l(xiāng)n t＞1-$\frac{1}{t}$；
即 ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、換元的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．