Question

（2012•門頭溝區(qū)一模）過拋物線y=

1

2

x2焦點的直線與拋物線交于A、B兩點，O是坐標原點．則

OA

•

OB

=

-

3

4

；若該拋物線上有兩點M、N，滿足OM⊥ON，則直線MN必過定點

（0，2）

．

Answer 1

分析：（1）由拋物線方程可求焦點F，設出直線AB的方程聯(lián)立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A兩點坐標，由韋達定理可以求得答案．
（2）設MN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關系可得M，N的坐標的關系式，根據(jù)MO⊥NO推斷出，即可

解答：解：∵拋物線y=

1

2

x2焦點F（0，

1

2

）
設過焦點F的直線AB的方程為y=kx+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y=kx+ 1 2 y=  1 2 x2

可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，y1y2=

1

2

x12 •

1

2

x22=

(x1x2)2

4

=

1

4

∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

3

4

設直線MN的方程為y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
聯(lián)立方程

y=mx+n y= 1 2 x2

可得x²-2mx-2n=0
則c+c=2m，ac=-2n，bd=

(ac)2

4

=n²
∵OM⊥ON
∴

OM

•

ON

=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直線MN的方程為y=mx+2，從而可得直線MN過定點（0，2）
故答案為：-

3

4

；（0，2）

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，涉及到直線與圓錐線的問題一般是聯(lián)立方程，設而不求，屬于中檔題．