若f(x)為二次函數(shù),-1和3是方程f(x)-x-4=0的兩根,f(0)=1;
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[-
1
2
,
3
2
]上,不等式xf(x)>2x+m有解,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由題意設(shè)出f(x)的解析式,代入方程化簡,根據(jù)韋達定理和條件列出方程組,求出系數(shù)即可;
(2)根據(jù)(1)將原不等式化簡和分離出m后,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=x3-x2-x,求出對應(yīng)的導(dǎo)數(shù),求出導(dǎo)數(shù)大于零和小于零的解集,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,即求出m的范圍.
解答:解:(1)有題意設(shè)f(x)=ax2+bx+c,
則f(x)-x-4=0為:ax2+(b-1)x+c-4=0,
-1+3=-
b-1
a
-1×3=
c-4
a
,
又∵f(0)=1,∴c=1,代入上面方程組解得,a=1,b=-1,
∴f(x)=x2-x+1;
(2)由(1)得,將不等式xf(x)>2x+m化為:
m<x3-x2-x,則此不等式在區(qū)間[-
1
2
,
3
2
]
上有解,
設(shè)g(x)=x3-x2-x,則g′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
∴當(dāng)x=-
1
3
或1時,g′(x)=0,
當(dāng)x∈[-
1
3
,1]
時,g′(x)<0,當(dāng)x∈[1,
3
2
]
[-
1
2
,-
1
3
]
時,g′(x)>0,
∴g(x)在[-
1
3
,1]
上單調(diào)遞減,在[1,
3
2
]
、[-
1
2
,-
1
3
]
上單調(diào)遞增,
∵g(-
1
2
)=
1
8
,g(
3
2
)=-
3
8
,g(-
1
3
)=
5
27
,g(1)=-1,
∴g(x)最小值是-1,最大值是
5
27
,
故m<
5
27
時不等式xf(x)>2x+m在區(qū)間[-
1
2
3
2
]
上有解.
點評:本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,韋達定理應(yīng)用,以及函數(shù)單調(diào)性、最值與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)為二次函數(shù)且二次項系數(shù)大于
1
2
,不等式f(x)<2x的解集為(-1,2),且方程f(x)+
9
4
=0有兩個相等的實根,若α,β是方程f(x)=0的兩個根(α>β),f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)a1=3,an+1=an-
f(an)
f′(an)
(n∈N*)

(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)記bn=lg
an
an
(n∈N*),求數(shù)列{bn}
的前n項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)為二次函數(shù),若y=f(x)在x=2處取得最小值-4,且y=f(x)的圖象經(jīng)過原點,
(1)求f(x)的表達式;
(2)求函數(shù)y=f(log
1
2
x)
在區(qū)間[
1
8
,2]
上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),不等式f(x)+2<0的解集為(-1,
1
3
)
,且對任意的a,β∈R,恒有f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=1,3an+1=1-
1
f(an+1)-f(an)-
3
2
(n∈N*)
,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)bn=
1
an
,在(2)的條件下,若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求數(shù)列{Sn•cos(bnπ)}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)為二次函數(shù),且f(1)=1,f(x+1)-f(x)=1-4x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-x-a,若函數(shù)g(x)在實數(shù)R上沒有零點,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案