Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CE的中點．
（I）求證：AF⊥CD；
（II）求平面ACD與平面BCE夾角的大�。�
（III）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

證明：（I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．（4分）
解：（ II）以O為坐標原點，分別以OF、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，如圖
所以，，
設是平面BCE的一個法向量，
由得取，（6分）
易知是平面ACD的一個法向量，
，
于是平面ACD與平面BCE的夾角等于．（8分）
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求，（10分）
（12分）
分析：（I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE，結合AC=AD=CD=DE=2，DE∥AB，我們易得到DE⊥平面ACD，進而得到CD⊥平面AOF，由線面垂直的性質(zhì)，我們可以得到AF⊥CD；
（II）以O為坐標原點，分別以OF、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，求出各個頂點的坐標，進而求出平面ACD的法向量與平面BCE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面ACD與平面BCE夾角的大小；
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高，求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角及求法，棱錐的體積，在使用向量法求二面角的大小時，建立坐標系，求出平面的法向量是關鍵．