Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁+a₂+a₃=15，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整數(shù)且成等比數(shù)列，求a₃的最大值．

Answer 1

（1）由a₁+a₂+a₃=15，b₁b₂b₃=27．
可得a₂=5，b₂=3，
所以a₁=b₂=3，從而等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，
所以a_n=2n+1，從而b₃=a₄=9，{b_n}的公比q=3
所以bn=3n-1． …（3分）
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則a₁=5-d，b1=

3

q

，a₃=5+d，b₃=3q．
因?yàn)閍₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，所以(a1+b1)•(a3+b3)=(a2+b2)2=64．
設(shè)

a1+b1=m a3+b3=n

，m，n∈N^*，mn=64，
則

5-d+ 3 q =m 5+d+3q=n

，整理得，d²+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得d=

n-m+ (m+n-10)2-36

2

（舍去負(fù)根）．
∵a₃=5+d，
∴要使得a₃最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）²取最大值．
∵m，n∈N^*，mn=64，
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=64且m=1時(shí)，n-m及（m+n-10）²取最大值．
從而最大的d=

63+7 61

2

，
所以，最大的a3=

73+7 61

2

…（16分）