Question

設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），當(dāng)a=1時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得g（m）-g（x）＜

1

m

，對(duì)任意x＞0恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先化簡求出g（x），在根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最小值，而g（m）-g（x）＜

1

m

，對(duì)任意x＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為lnm＜g（x）恒成立，問題得以解決

解答： 解：∵f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），
∴g（x）=lnx+

a

x

，
∵a=1，
∴g（x）=lnx+

1

x

，
∴g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g′（x）＞0，即x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0，即0＜x＜1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=1
∵g（m）-g（x）＜

1

m

，對(duì)任意x＞0恒成立，
∴l(xiāng)nm+

1

m

-

1

m

＜g（x），m＞0
∴l(xiāng)nm＜g（x）恒成立，
∴l(xiāng)nm＜1，
解得0＜m＜e，
∴數(shù)m的取值范圍是（0，e）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．