如圖，A為橢圓數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2．當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

解：（1）當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a，
得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2
解得 e=．
（2）由e=，則，b=c．
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-b，0），F(xiàn)2（b，0），則橢圓方程為，
化簡有x2+2y2=2b2．
設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），
①若直線AC⊥x軸，x0=b，λ2=1，
∴λ1+λ2=6．
②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為
代入橢圓方程有（3b2-2bx0）y2+2by0（x0-b）y-b2y02=0．
由韋達(dá)定理得：，∴
所以，
同理可得
故λ1+λ2=．綜上所述：λ1+λ2是定值6．
分析：（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及橢圓定義|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求
（2）由（1）可得b=c．橢圓方程為，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），
①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求，從而可求，同理可得，代入可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓得性質(zhì)及橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交中方程思想的應(yīng)用，這是處理直線與橢圓位置關(guān)系的通法，但要注意基本運(yùn)算的考查
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，AF1=3AF2．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)
AF1
=λ1
F1B
 ，   
AF2
=λ2
F2C
，證明：當(dāng)A點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ1+λ2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF1：AF2＝3：1.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；(Ⅱ) 設(shè).

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求的值；

②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是否

為定值？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年安徽省宿州市泗縣一中高三數(shù)學(xué)考前最后一卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，A為橢圓（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2．當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)，，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

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