Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若f（x+2）是偶函數(shù)，求a的值；
（2）設P=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，Q=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），且x₁≠x₂，試比較P與Q的大��；
（3）是否存在實數(shù)a∈[0，8]，使得函數(shù)f（x）在[0，4]上的最小值為7，若存在求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x+2）的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出P-Q的表達式，變形整理成完全平方式，從而判斷出結論；
（3）先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論對稱軸的位置，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值的表達式，解出a的值即可．

解答 解：（1）f（x+2）=（x+2）²+（4-2a）（x+2）+a²+1
=x²+（8-2a）x+a²-4a+13，
若f（x+2）是偶函數(shù)，則8-2a=0，解得：a=4；
（2）P-Q=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）-f （ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$[x₁²+（4-2a）x₁+a²+1+x₂²+（4-2a）x₂+a²+1]-[$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$（4-2a）（x₁+x₂）+a²+1]
=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{4}$＞0，
∴P＞Q．
（3）設存在這樣的a，
由于0≤a≤8，∴-2≤a-2≤6，
①若-2≤a-2＜0，即0≤a＜2，則f（x）在[0，4]上為增函數(shù)，
∴f（0）=a²+1=7，解得：a=$\sqrt{3}$；
②若0≤a-2≤4，即2≤a≤6，
則f（a-2）=（a-2）²+（4-2a）（a-2）+a²+1=7，
化簡得4a-11=0，解得 a=$\frac{11}{4}$，
綜上，存在a=-1滿足條件，
③若4＜a-2≤6，即6＜a≤8，則f（x）在[0，4]為減函數(shù)，
∴f（4）=16+4（4-2a）+a²+1=7，無解，
綜上，存在實數(shù)a=$\sqrt{3}$或$\frac{11}{4}$∈[0，8]，使得函數(shù)f（x）在[0，4]上的最小值為7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查分類討論思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵，本題是一道中檔題．