Question

已知點（n，a_n）（n∈N*）在函數f（x）=-6x-2的圖象上，數列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n+8n+3，數列{d_n}滿足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求數列{d_n}的通項公式；
（Ⅲ）設g（x）是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數x₁、x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a為常數，且a≠0），記bn=

g( dn+1 2 )

dn+1

，試判斷數列{b_n}是否為等差數列，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知{a_n}是以a₁=-8為首項公差為-6的等差數列．由此可以求得S_n=-3n²-5n．
（Ⅱ）由c_n=a_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2d_n+1，可知d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．再由d₁=c₁=3，可知{d_n+1}是首項為d₁+1=4，公比為2的等比數列．由此能夠求得d_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅲ）解法一：由題意可知bn+1-bn=

g(2n)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

2n-1a+2g(2n-1)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

a

4

．由此可知數列{b_n}是等差數列．
解法二：因為g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a，故g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)=an•2^n-1，由此可知bn+1-bn=

a

4

．因此，數列{b_n}是等差數列．

解答：解：（Ⅰ）由已知a_n=-6n-2，故{a_n}是以a₁=-8為首項公差為-6的等差數列．
所以S_n=-3n²-5n．
（Ⅱ）因為c_n=a_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2d_n+1，因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
所以{d_n+1}是首項為d₁+1=4，公比為2的等比數列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以d_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅲ）解法一：g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)，
則bn=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

，b_n+1=

a

4

+

g(2n)

2n+1

.bn+1-bn=

g(2n)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

2n-1a+2g(2n-1)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

a

4

．
因為a為常數，則數列{b_n}是等差數列．
解法二：因為g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a，
故g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)=2^n-1g（2）+2[2^n-2g（2）+2g（2^n-2）]=2×2^n-1g（2）+2²g（2^n-2）=2×2^n-1g（2）+2²[2^n-3g（2）+2g（2^n-3）]=3×2^n-1g（2）+2³g（2^n-3）═（n-1）×2^n-1g（2）+2^n-1g（2）=n•2^n-1g（2）=an•2^n-1，
所以bn=

g( dn+1 2 )

dn+1

=

an•2n-1

2n+1

=

a

4

n．
則bn+1-bn=

a

4

．
由已知a為常數，因此，數列{b_n}是等差數列．

點評：本題考查數列的性質及其綜合運用，具有一定的難度，解題時認真審題，仔細解答．