精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)=
3
sinxcosx+cos2x

(1)求函數f(x)的周期、值域和單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈[
π
2
,π]
時,求函數f(x)的最值.
分析:(1)先利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式進行化簡整理,進而利用正弦函數的性質求得函數的周期以及單調增區(qū)間.
(2)根據(1)的函數的解析式,利用x的范圍進而確定2x+
π
6
的范圍,進而利用正弦函數的單調性求得函數的最值.
解答:解:(1)f(x)=
3
sinxcosx+cos2x
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2

∴函數的最小正周期T=
2
=π,
-1≤sin(2x+
π
6
)≤1,故函數的值域為[-
1
2
3
2
]
當2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,即kπ-
3
≤x≤kπ+
π
6
,函數單調增,
故函數的單調增區(qū)間為[kπ-
3
,kπ+
π
6
](k∈Z)
(2)∵x∈[
π
2
,π]

∴2x+
π
6
∈[
6
,
13π
6
]
∴當2x+
π
6
=
2
時函數的最小值為-
1
2

當2x+
π
6
=
13π
6
時函數的最大值為
1
2
+
1
2
=1
點評:本題主要考查了正弦函數的定義域和值域,兩角和公式和二倍角公式的化簡求值,正弦函數的單調性等.考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x>7)
,數列an滿足an=f(n)(n∈N*),且an是遞增數列,則實數a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3-ax
,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數,則實數a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+
π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的圖象過點(
π
16
,2+
2
)

(Ⅰ)求ω的值及使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)該函數的圖象可由函數y=
2
sin4x(x∈R)
的圖象經過怎樣的變換得出?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=|3-
1x
|,x∈(0,+∞)

(1)寫出f(x)的單調區(qū)間;
(2)是否存在實數a,b(0<a<b)使函數y=f(x)定義域值域均為[a,b],若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x-
π
3
)=sinx,則f(π)
等于( �。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案