Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱錐A-A₁D₁E的體積；
（3）求二面角E-AD₁-A₁的平面角的大小．

Answer 1

解：（1）依題意：AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，則AE⊥平面A₁D₁E．
（2）．
（3）取AA₁的中點(diǎn)O，連OE，則EO⊥AA₁、EO⊥A₁D₁，
所以EO⊥平面ADD₁A₁．
過(guò)O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，連EF，則AD₁⊥EF，
所以∠EFO為二面角E-AD₁-A₁的平面角．
在△AFO中，．
∴．
分析：（1）證出AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，則可證明AE⊥平面A₁D₁E．
（2），代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
（3）取AA₁的中點(diǎn)O，過(guò)O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，連EF，∠EFO為二面角E-AD₁-A₁的平面角．在△AFO中 求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間角，體積的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題能力．空間問(wèn)題平面化是解決空間幾何體問(wèn)題最主要的思想方法．