Question

數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在,使(其中是與自然數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)),若存在,求出與的值,若不存在,說(shuō)明理由;

（3）求證：為有理數(shù)的充要條件是數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.

Answer 1

同下

解析:

（1）

，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1

--------------------------------------------------------------------------6分

（2）由，即，

整理得：，當(dāng)時(shí)，該式恒成立；

即：當(dāng)時(shí)，，即為所求。--------------------------------10分

（3）證明：充分性：若三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則

若，則，與矛盾，

，且都是非負(fù)整數(shù)，是有理數(shù)；----------------14分

必要性：若是有理數(shù)，且，則必存在正整數(shù)，使，令

則正項(xiàng)數(shù)列，是原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列，只要正項(xiàng)數(shù)列中存在三個(gè)不同的項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列則原數(shù)列中必有3個(gè)不同項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列。

不失一般性，不妨設(shè)，記

又設(shè)，且成等比數(shù)列，則

為使為整數(shù)，可令，于是

可知成等比數(shù)列。證畢----------------------------------------------------18分