Question

過曲線上的一點Q（0，2）作曲線的切線，交x軸于點P₁，過P₁作垂直于x軸的直線交曲線于Q₁，過Q₁作曲線的切線，交x軸于點P₂；過P₂作垂直于x軸的直線交曲線于Q₂，過Q₂作曲線的切線，交x軸于點P₃；…如此繼續(xù)下去得到點列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，設P_n的橫坐標為x_n（n∈N^*）
（I）試用n表示x_n；
（II）證明：；
（III）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），所以曲線在處的切線為：，由此能求出x_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）當n≥3時，有2ⁿ＞2^n-1+1，所以，則當n≥3時，由此能證明．
（Ⅲ）由，知，由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ），-----------（1分）
所以曲線在處的切線為：
-------------（2分）
設直線和x軸交點橫坐標x_n=2x_n-1+1，
即x_n+1=2（x_n-1+1），另可解x₁=1
則x_n+1=2ⁿ，
∴x_n=2ⁿ-1…（4分）
（Ⅱ）當n≥3時，有2ⁿ＞2^n-1+1，
∴----------（5分）
則當n≥3時，
-------------------------（7分）
另…（8分）
（Ⅲ）∵，---------------（9分）
∴，
即，
移項得：------------------（12分）
∴．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，計算量大，綜合性質(zhì)強，比較繁瑣．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意計算能力的培養(yǎng)．