Question

已知函數(shù)，，

（1）若函數(shù)的兩個極值點為，求函數(shù)的解析式；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象過點的切線方程；

（3）對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）x+y-2=0   （3）  a≥-2

【解析】函數(shù)的兩個極值點處導數(shù)為0 ，g’(x)=3x²+2ax-1帶入即可；

要求函數(shù)的圖象過點的切線方程，先求函數(shù)在點處的導數(shù)即斜率，在用點斜式求出方程；恒成立求實數(shù)的取值范圍時，一般分離參數(shù)，2a≥2lnx-3x-再在最值處成立即可。

解：（1）g’(x)=3x²+2ax-1由題意：

（2）由（1）可得：g(x)=x³-x²-x+2（1^o）若P為切點，則切線方程為：y=1

2 ^o若P不是切點，設切點Q（x₀，y₀）∴切線方程為y-y₀=(3x₀²-2x₀-1)(x-x₀)

1-(x₀³-x₀²-x₀+2)=(3x₀²-2x₀-1)(1-x₀)    2x₀(x₀-1)²=0    ∴x₀=0   ∴切點（0，2）

∴切線方程：x+y-2=0

（3）2xlnx≤3x²+2ax-1+2    ∴2ax≥2xlnx-3x²-1     ∵x>0   ∴2a≥2lnx-3x-

令ln(x)=2lnx-3x-   

x       （0，1）    1       （1，+∞）

h’(x)      +       0       -

h(x)        ↑      極大值      ↓

∴h(x) ≤h(1)=-4    ∴2a≥-4    a≥-2