Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，則（　　）

A、f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減

B、f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增

C、f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞減

D、f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞增

Answer 1

分析：①先判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對(duì)x、y都賦值為0；
②再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，任取x₁＜x₂，充分利用條件當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x₂）＞f（x₁）從而得出其單調(diào)性．

解答：解：顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又∵函數(shù)對(duì)一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
對(duì)f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上遞增．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式，屬于中檔題．