精英家教網(wǎng)如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2
2
,側(cè)棱長為4.E,F(xiàn)分別為棱AB,BC的中點(diǎn),EF∩BD=G.
(Ⅰ)求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1
(Ⅱ)求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d;
(Ⅲ)求三棱錐B1-EFD1的體積V.
分析:(1)方法一:欲證明平面B1EF⊥平面BDD1B1,先證直線與平面垂直,觀察平面BDD1B1為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的對角面,所以AC⊥平面BDD1B1,故連接AC,由EF∥AC,可得EF⊥平面BDD1B1
方法二:欲證明平面B1EF⊥平面BDD1B1,先證直線與平面垂直,由題意易得EF⊥BD,又EF⊥D1D,所以EF⊥平面BDD1B1

(2)本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的,第(1)問是為第(2)問作鋪墊的.由第(1)問可知,點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d即為點(diǎn)D1到平面B1EF與平面BDD1B1的交線B1G的距離,故作D1H⊥B1G,垂足為H,所以點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1H.下面求D1H的長度.
解法一:在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中,利用三角函數(shù)可解.
解法二:在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中,利用三角形相似可解.
解法三:在矩形BDD1B1及△D1GB1中,觀察面積大小關(guān)系可解.

(3)本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的,第(2)問是為第(3)問作鋪墊的.解決三棱錐求體積的問題,關(guān)鍵在于找到合適的高與對應(yīng)的底面,由第(2)問可知,D1H即為三棱錐B1-EFD1的高,所以B1EF為對應(yīng)的底面.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)證法一:
連接AC.
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,
∴AC⊥BD,又AC⊥D1D,故AC⊥平面BDD1B1
∵E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),故EF∥AC,
∴EF⊥平面BDD1B1,
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1

證法二:
∵BE=BF,∠EBD=∠FBD=45°,
∴EF⊥BD.又EF⊥D1D
∴EF⊥平面BDD1B1
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1

(Ⅱ)在對角面BDD1B1中,
作D1H⊥B1G,垂足為H.
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1,
且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G,
∴D1H⊥平面B1EF,且垂足為H,
∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1H.
解法一:
在Rt△D1HB1中,D1H=D1B1•sin∠D1B1H.
D1B1=
2
A1B1=
2
•2
2
=4
,精英家教網(wǎng)
sin∠D1B1H=sin∠B1GB=
B1B
GB1
=
4
42+12
=
4
17

d=D1H=4•
4
17
=
16
17
17
.


解法二:
∵△D1HB1~△B1BG,
D1H
B1B
=
D1B1
B1G
,
d=D1H=
B1B2
B1G
=
42
42+12
=
16
17
17
.


解法三:
連接D1G,則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半,精英家教網(wǎng)
1
2
B1G•D1H=
1
2
B1B2
,
d=D1H=
B1B2
B1G
=
16
17
17
.

(Ⅲ)V=VB1-EFD1=VD1-B1EF=
1
3
•d•SB1EF

=
1
3
16
17
1
2
•2•
17
=
16
3
.
點(diǎn)評:本小題主要考查正四棱柱的基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.
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