Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）證明f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)分母不能為零和對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零求解；
（2）由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再分析f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（3）先在給定的區(qū)間上任取兩個變量，且界定其大小，再作差變形，再與零進(jìn)行比較，關(guān)鍵是變形到位用上條件．

解答：解：（1）

x≠0 1+x 1-x ＞0

?-1＜x＜0或0＜x＜1，
故f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，1）；
（2）∵f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=(

1

x1

-

1

x2

)+(log2

1+x2

1+x2

-log2

1+x1

1-x1

=

x2-x1

x1x2

+log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
（1-x₁）（1+x₂）=1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞1-x₁x₂-（x₂-x₁）=（1+x₁）（1-x₂）＞0
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1， log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，

x2-x1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在（0，1）內(nèi)遞減．
另解：f′(x)=-(

1

x2

+

2

1-x2

log2e)∴當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0
故f（x）在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，涉及到定義域的求法，要注意分式函數(shù)，根式函數(shù)和基本函數(shù)的定義域；還考查了奇偶性的判斷，要注意定義域，