已知1≤x2＋y2≤2，求證：≤x2－xy＋y2≤3.

 

答案：
解析：

選題意圖：本題考查換元法(等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù))在不等式證明中的應(yīng)用.

證明：設(shè)x＝ｒcosθ，y＝ｒsinθ(1≤ｒ≤，0≤θ＜2π

∴x2－xy＋y2＝ｒ2cos2θ－ｒcosθ·ｒsinθ＋ｒ2sin2θ

＝ｒ2(1－).

∵≤1－sin2θ≤，1≤ｒ2≤2

∴≤ｒ2(1－sin2θ)≤3，

即：≤x2－xy＋y2≤3.

<

說明：①三角函數(shù)是熟悉函數(shù)，它有很多重要性質(zhì).②換元時(shí)注意要等價(jià)，如1≤ｒ≤，0≤θ＜2π.

 


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已知1≤x2+y2≤2，則x2+xy+y2的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（2，0），其離心率與雙曲線
y
2
 
3
-
x
2
 
=1的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求
k
2
 
的值．

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