分析:(I)將S
n=2a
n+n
2-3n-2利用數(shù)列中a
n,Sn的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化構(gòu)造出新數(shù)列{a
n-2n},再據(jù)其性質(zhì)證明.
(Ⅱ)將(I)中所求的a
n代入bn,分組求和法求和.
(III)由于c
n=
=
,從而得出:當n=1時,T
1=
<
;當n≥時,T
n=
+
+
+…+
<
+
+
+…+
利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合放縮法即可得到證明.
解答:解:(Ⅰ)∵S
n=2a
n+n
2-3n-2
∴S
n+1=2a
n+1+(n+1)
2-3(n+1)-2
∴a
n+1=2a
n-2n+2
∴a
n+1-2(n+1)=2(a
n-2n)
∴{a
n-2n}是以2為公比的等比數(shù)列.
(II)a
1=S
1=2a
1-4,∴a
1=4,∴a
1-2×1=4-2=2
∴a
n-2n=2
n,∴an=2
n+2n …5分
當n為偶數(shù)時,
P
n=b
1+b
2+b
3+…+b
n=(b1+b
3+…+b
n-1)+(b
2+b
4+…+b
n)
=-(2+2×1)-(2
3+2×3)-…-(2
n-1+2(n-1)+(2
2+2×2)+(2
4+2×4)+…+(2
n+2×n)
=
-
+n=
•(2
n-1)+n …7分
當n為奇數(shù)時,
Pn=-
-(n+1)…9分
綜上,Pn=
| --n-(n為奇數(shù)) | •(2n-1) +n(n為偶數(shù)) |
| |
…10分
(III)c
n=
=
,
當n=1時,T
1=
<
;
當n≥時,T
n=
+
+
+…+
<
+
+
+…+
=
+
=
+
-
=
-
<
<
.
綜上可知,任意n∈N
*,T
n<
.…14分
點評:本題考查等比數(shù)列的判斷、數(shù)列求和,轉(zhuǎn)化,計算的能力.