Question

正方體的棱長(zhǎng)為，是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是          ．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：當(dāng)弦MN經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，弦MN最長(zhǎng)，此時(shí)，MN=2,。以A^‘為原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)，不妨設(shè)MN是上下底面對(duì)中心，則M(1,1,2),N(1,1,0),設(shè)P（x,y,z）,則，因?yàn)镻為正方體面上的點(diǎn)，根據(jù)x,y,z的對(duì)稱性可知，的取值范圍與點(diǎn)P在那個(gè)面上無(wú)關(guān)。不妨設(shè)，點(diǎn)P在底面內(nèi)，此時(shí)有0≤x≤2，0≤y≤2，z=0,所以此時(shí)，當(dāng)x=y=1時(shí)，=0，此時(shí)最小。當(dāng)點(diǎn)P位于正方形的頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)有，所以最大為2.

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積；空間直角坐標(biāo)系。

點(diǎn)評(píng)：此題的難度較大，主要考查學(xué)生最值的求法，靈活應(yīng)用空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。