（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到
2
倍后得到點Q（x，
2
y）滿足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又點H關(guān)于原點O的對稱點為點G，試問四點M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．
分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標，利用
AQ
•
BQ
=1，即可得到動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）假設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識，確定M，N，G，H的坐標，進而確定點到四點的距離相等，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）依據(jù)題意，有
AQ
=(x+1，
2
y)，
BQ
=(x-1，
2
y)
∵
AQ
•
BQ
=1，
∴x2-1+2y2=1．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是
x2
2
+y2=1．
（2）因直線l過點B，且斜率為k=-
2
2
，故有l(wèi)：y=-
2
2
(x-1)．
聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
，得2x2-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點為M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴x1+x2=1，y1+y2=
2
2
．
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
，點G與點H關(guān)于原點對稱，
于是，可得點H（-1，-
2
2
）、G（1，
2
2
）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l1和l2，則有l(wèi)1：y-
2
4
=
2
（x-
1
2
），l2：y=-
2
x．
聯(lián)立方程組，解得l1和l2的交點為O1（
1
8
，-
2
8
）．
因此，可算得|O1H|=
(
9
8
)2+(
3
2
8
)2
=
3
11
8
，|O1M|=
(x1-
1
8
)2+(y1+
2
8
)2
=
3
11
8
．
所以，四點M、G、N、H共圓，圓心坐標為O1（
1
8
，-
2
8
），半徑為
3
11
8
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查四點共圓，正確運用向量知識，確定圓心坐標與半徑是關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）若0＜α＜
π
2
＜β＜π，sinα=
3
5
，sin（α+β）=
5
13
，則cosβ=
-
33
65
-
33
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，側(cè)面SAB為正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如圖所示．
（1）證明：SD⊥平面SAB；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積VS-ABCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f（x）=
2
π
|x-π| (x＞
π
2
)
sinx  (0≤x≤
π
2
)
關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數(shù)根，若α是四個根中的最大根，則sin（
π
3
+α）=
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到
2
倍后得到點Q（x，
2y
）滿足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-
2
2
的直線i交曲線C于M、N兩點，且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
（O為坐標原點），試判斷點H是否在曲線C上，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*）．
（1）求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列{cn}滿足cn=
an3n
（n∈N*），試建立數(shù)列{cn}的遞推公式（要求不含an或bn）；
（3）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求Sn．

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