Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-ϕ）cos（x-ϕ）-cos²（x-ϕ）+（0≤ϕ≤）為偶函數(shù)．
（I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（II）把函數(shù)的圖象向右平移個單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的對稱中心．

Answer 1

【答案】分析：（I）把函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，即為函數(shù)解析式的最簡形式，即可求出最小正周期以及單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意根據(jù)平移變換求出函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的對稱中心即可．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）=sin（x-ϕ）cos（x-ϕ）-cos²（x-ϕ）+
=sin（2x-2φ）-（2cos²φ-1）=sin（2x-2φ）-cos（2x-2φ）
=sin（2x-2φ）
函數(shù)f（x） 為偶函數(shù)，則-2φ=kπ，k∈z
∵0≤ϕ≤
∴φ=
∴f（x）=sin（2x-π）=-sin2x
∴函數(shù)的最小正周期T==π
令2x∈[-+2kπ，+2kπ]k∈Z  解得：-+kπ≤x≤+kπ
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-+kπ，+kπ]k∈Z
（II）由（I）知f（x）=-sin2x
由題意知g（x）=-sin[2（x-）]=-sin（2x-）
令2x-=kπ（k∈Z），則x=+ （k∈Z），
∴函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為（+，0）（k∈Z）．
點(diǎn)評：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應(yīng)用，y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，簡單的三角方程的解法．