Question

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且過(guò)點(diǎn)(2,-6);

(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為6;

(3)已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是一個(gè)焦點(diǎn),A是一個(gè)頂點(diǎn),若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6且cos∠OFA=;

(4)橢圓過(guò)(3,0),離心率e=.

Answer 1

解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由已知a=2b,

且橢圓過(guò)點(diǎn)(2,-6),                                                  ①

從而有                            ②

由①②,得a²=148,b²=37或a²=52,b²=13,

故所求的方程為

(2)如圖所示,

△A₁FA₂為一等腰直角三角形,OF為斜邊A₁A₂的中線(高),且OF=c,A₁A₂=2b,

∴c=b=3.∴a²=b²+c²=18.

故所求橢圓的方程為.

(3)∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6,cos∠OFA=,

∴點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn)).

∴|OF|=c,|AF|=a=3.∴

∴c=2,b²=3²-2²=5.

∴橢圓的方程是

(4)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，

∵a=3,,∴c=.

從而b²=a²-c²=9-6=3,

∴橢圓的方程為.

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，

∵b=3,,

∴∴a²=27.

∴橢圓的方程為

∴所求橢圓的方程為.