Question

已知點(diǎn),直線，動(dòng)點(diǎn)M在直線的右側(cè)，以為圓心的動(dòng)圓與直線相切，且與以為圓心（半徑與⊙相等）的圓外切。

    （Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

    （Ⅱ）過直線 與軸的交點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)、,求的取值范圍；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,問：直線是否過定點(diǎn)？

        若存在，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，則點(diǎn)到直線的距離

                    

                     所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的雙曲線右支

                    

                     點(diǎn)軌跡方程為

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程消去得

          

           設(shè) 則此方程由兩個(gè)不相等的正實(shí)根，

           由得到

          

          

            

          

(Ⅲ)設(shè)則

方法1：直線

即，將代入右邊再代入整理得

            

           因此，直線過定點(diǎn)

方法2：              

                             

       直線的方程為

       因此，直線過定點(diǎn)（4，0）.