Question

已知函數(shù)，且在上的最大值為，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明。

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），
對(duì)于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-，不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（0，），f′（x）＜0，
從而f（x）在（0，）單調(diào)遞減，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)在上上的最大值為f（0）=-，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，），f′（x）＞0，從而f（x）在（0，）單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)在上的最大值為f（）==，
解得a=1，綜上所述，得。
（2）函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
證明如下：由（1）知，，
從而有f（0）=-＜0，f（）=＞0，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，
所以函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
又由（1）知f（x）在（0，）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x∈[，π]時(shí)，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，
由g（）=1＞0，g（π）=-π＜0，
且g（x）在[，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．
由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈（，π）時(shí)，有g(shù)′（x）＜0，
從而g（x）在[，π]上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，
從而f（x）在（，m）內(nèi)單調(diào)遞增
故當(dāng)x∈（，m）時(shí)，f（x）＞f（）=＞0，
從而（x）在（，m）內(nèi)無零點(diǎn)；
當(dāng)x∈（m，π）時(shí)，有g(shù)（x）＜g（m）=0，
即f′（x）＜0，
從而f（x）在（，m）內(nèi)單調(diào)遞減
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，
從而f（x）在[m，π]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。
綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。