Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為B，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列x=g（t）是不是f（x）的一個等值域變換？說明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設(shè)f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并指出x=g（t）的一個定義域；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為B，函數(shù)g（t）的定義域為D₁，值域為B₁，寫出x=g（t）是f（x）的一個等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說明條件的不必要性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意中等值域變換的定義，分別分析（A）、（B）是否符合其定義，即值域是否相同，可得答案；
（2）根據(jù)題意，易得f（x）的值域為R，則g（t）=at²+2t+1能取到任意一個正數(shù)，分a=0與a≠0兩種情況討論，分析可得答案；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為B，函數(shù)g（t）的定義域為D₁，值域為B₁，舉例分析可得答案．

解答：解：（1）（A）：函數(shù)f（x）=2x+b，x∈R的值域為R，
x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換；（2分）
（B）：f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，即f（x）的值域為[

3

4

，+∞)，
當(dāng)t∈R時，f(g(t))=(2t-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，即y=f（g（t））的值域仍為[

3

4

，+∞)，
所以，x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；（5分）
（2）根據(jù)題意，易得f（x）的值域為R，因為x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，
所以，g（t）=at²+2t+1能取到任意一個正數(shù)，（6分）
1）當(dāng)a=0時，g（t）=2t+1是一次函數(shù)，g(t)=2t+1＞0?t＞-

1

2

；（8分）
2）當(dāng)a≠0時，g（t）=at²+2t+1是二次函數(shù)，

a＞0 △=4-4a≥0

?0＜a≤1，at2+2t+1＞0?t∈(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)，（11分）
所以，a∈[0，1]，
當(dāng)a=0時，x=g（t）=2t+1的定義域為(-

1

2

，+∞)，
當(dāng)a∈（0，1]時，g（t）=at²+2t+1的定義域為(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)；
（注：定義域不唯一）（13分）
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為B，函數(shù)g（t）的定義域為D₁，值域為B₁，則x=g（t）是f（x）的一個等值域變換的充分非必要條件是“D=B₁”．（15分）
條件的不必要性的一個例子是．f（x）=x²，D=R，B=[0，+∞）g（t）=2^t-1，D₁=R，B₁=（-1，+∞）
此時D?B₁，但f（g（t））=（2^t-1）²的值域仍為B=[0，+∞），
即g（t）=2^t-1（x∈R）是f（x）=x²（x∈R）的一個等值域變換．（18分）
（反例不唯一）

點(diǎn)評：本題是新定義的類型，解題時注意認(rèn)真分析題意，準(zhǔn)確理解把握并運(yùn)用新定義解題．