Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，且對任意的n∈N₊，有Sn=

3

2

an-

3

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

log3an•log3an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得Sn=

3

2

an-

3

2

，所以a_n=Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，即an=

3

2

an-

3

2

an-1，由此可以推導(dǎo)出a_n=3ⁿ．
（2）由題設(shè)知bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此用裂項(xiàng)求和法可知{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）由已知得Sn=

3

2

an-

3

2

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

3

2

an-1-

3

2

；
∴Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，即an=

3

2

an-

3

2

an-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3a_n-1；
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=3；
又當(dāng)n=1時(shí)，S1=

3

2

a1-

3

2

，
即a1=

3

2

a1-

3

2

，∴a₁=3；
∴a_n=3ⁿ．

（2）∵log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
∴bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
∴{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)求和法的運(yùn)用，解題時(shí)要注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)．