【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an>0,Sn2=an+12﹣λSn+1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:Sn+1=2Sn+λ;
(2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若存在,求出λ;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,λ=1
【解析】
(1)利用已知條件通過an+1=Sn+1﹣Sn,推出Sn+1(Sn+1﹣2Sn﹣λ)=0,然后證明:Sn+1=2Sn+λ;.
(2)求出數(shù)列的通項公式,利用數(shù)列是等比數(shù)列,求解即可.
(1)證明:∵an+1=Sn+1﹣Sn,,
∴,
∴Sn+1(Sn+1﹣2Sn﹣λ)=0,
∴an>0,∴Sn+1>0,
∴Sn+1﹣2Sn﹣λ=0;
∴Sn+1 = 2Sn+λ
(2)解:∵Sn+1=2Sn+λ,Sn=2Sn﹣1+λ(n≥2),
相減得:an+1=2an(n≥2),∴{an}從第二項起成等比數(shù)列,
∵S2=2S1+λ即a2+a1=2a1+λ,
∴a2=1+λ>0得λ>﹣1,
∴an,
若使{an}是等比數(shù)列
則,∴2(λ+1)=(λ+1)2,
∴λ=1經檢驗得符合題意.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年4月10日21時整,全球六地(上海和臺北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時召開新聞發(fā)布會,宣布人類首次利用虛擬射電望遠鏡,成功捕獲世界上首張黑洞圖像,公布的照片展示了一個中心為黑色的明亮環(huán)狀結構,看上去有點像個橙色的甜甜圈,其黑色部分是黑洞投下的“陰影”,明亮部分是繞黑洞高速旋轉的吸積盤.某同學作了一張黑洞示意圖,如圖所示,由兩個同心圓和半個同心圓環(huán)構成圓及圓環(huán)的半徑從內到外依次為2,3,4,5個單位在圖中隨機任取一點,則該點取自陰影的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】改革開放40多年來,城鄉(xiāng)居民生活從解決溫飽的物質需求為主逐漸轉變到更多元化的精神追求,消費結構明顯優(yōu)化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國農村居民人均生活消費支出與恩格爾系數(shù)(恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重)統(tǒng)計圖.對所列年份進行分析,則下列結論錯誤的是( )
A.農村居民人均生活消費支出呈增長趨勢
B.農村居民人均食品支出總額呈增長趨勢
C.2011年至2015年農村居民人均生活消費支出增長最快
D.2015年到2017年農村居民人均生活消費支出增長比率大于人均食品支出總額增長比率
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為實現(xiàn)有效利用扶貧資金,增加貧困村民的收入,扶貧工作組結合某貧困村水質優(yōu)良的特點,決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗,試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖,已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙,丙的自然成活率均為0.9,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立.
(1)試驗時從甲、乙,丙三種魚苗中各取一尾,記自然成活的尾數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;
(2)試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好,扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖,為提高魚苗的成活率,工作組采取增氧措施,該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元,不成活則虧損2元,且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元,問需至少購買多少尾乙種魚苗?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2020年初,新冠病毒肺炎(COVID﹣19)疫情在武漢爆發(fā),并以極快的速度在全國傳播開來.因該病毒暫無臨床特效藥可用,因此防控難度極大.湖北某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查4類人員:新冠患者、疑似患者、普通感冒發(fā)熱者和新冠密切接觸者,過程中排查到一戶5口之家被確認為新冠肺炎密切接觸者,按要求進一步對該5名成員逐一進行核糖核酸檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭定義為“感染高危戶”,設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率相同均為,且相互獨立,該家庭至少檢測了4人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當時,最大,此時( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=,BC=AA1=2,O,M分別為BC,AA1的中點.
(1)求證:OM∥平面CB1A1;
(2)求點M到平面CB1A1的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長為2,側棱長為4,過點作平面與正四棱柱的三條側棱,,分別交于,,,且,若多面體和多面體的體積比為3∶5,則截面的周長為_________.
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