Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點．
（1）求證：FH∥平面EDB；
（2）求證：AC⊥平面EDB；
（3）求二面角B-DE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC于BD交于點G，則G為AC的中點，連接EG，GH，又H為BC的中點，可得四邊形EFHG為平行四邊形，然后利用直線與平面平行判斷定理進行證明；
（2）因為四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要證FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H⊥平面ABCD，從而求解．
（3）在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，可知∠FKB為二面角B-DE-C的一個平面角，然后設(shè)EF=1，在直角三角形中進行求證．

解答：證明：（1）設(shè)AC于BD交于點G，則G為AC的中點，連接EG，GH，又H為BC的中點，
∴GH∥AB且GH=

1

2

AB，又EF∥AB且EF=

1

2

AB，∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFHG為平行四邊形
∴EG∥FH，而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB．
（2）由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，
又BF=FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC
∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，F(xiàn)H⊥AC，
又FH∥EG，∴AC⊥EG
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB，
（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，則
∠FKB為二面角B-DE-C的一個平面角，
設(shè)EF=1，則AB=2，F(xiàn)C=

2

，DE=

3

，
又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，
∴sin∠EDC=sin∠KEF=

2

3

，
∴FK=EFsin∠KEF=

2

3

，
tan∠FKB=

BF

FK

=

3

，
∴∠FKB=60°，
∴二面角B-DE-C為60°．

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學(xué)們要課下要多練習(xí)．