設函數(shù),
是定義域為R上的奇函數(shù).
(1)求的值,并證明當
時,函數(shù)
是R上的增函數(shù);
(2)已知,函數(shù)
,
,求
的值域;
(3)若,試問是否存在正整數(shù)
,使得
對
恒成立?若存在,請求出所有的正整數(shù)
;若不存在,請說明理由.
(1)如下(2)(3)存在正整數(shù)
=3或4
【解析】
試題分析:解:(1)是定義域為R上的奇函數(shù),
,得
.
此時,,
,即
是R上的奇函數(shù).
設,則
,
,
,
,
在R上為增函數(shù).
(2),即
,
或
(舍去),
令,由(1)知
在[1,2]上為增函數(shù),∴
,
,
當時,
有最大值
;當
時,
有最小值
,
∴的值域
.
(3)=
,
,
假設存在滿足條件的正整數(shù),則
,
①當時,
.
②當時,
,則
,令
,則
,易證
在
上是增函數(shù),∴
.
③當時,
,則
,令
,則
,易證
在
上是減函數(shù),∴
.
綜上所述,,∵
是正整數(shù),∴
=3或4.
∴存在正整數(shù)=3或4,使得
對
恒成立.
考點:函數(shù)的單調(diào)性
點評:本題難度較大。函數(shù)的單調(diào)性對求最值、判斷函數(shù)值大小關系和證明不等式都有較大幫助,而求函數(shù)的單調(diào)性有時可以結(jié)合導數(shù)來求。
科目:高中數(shù)學 來源:2012年人教A版高中數(shù)學必修四1.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)練習卷(二)(解析版) 題型:選擇題
設f(x)是定義域為R,最小正周期為的函數(shù),若f(x)=
,則f
的值等于( )
A.1 B.
C.0 D.-.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年吉林省高二下學期期末測試理科數(shù)學 題型:選擇題
設函數(shù)f()的定義域為R,若存在與
無關的正常數(shù)M,使
對一切實數(shù)
均成立,則稱f(
)為“有界泛函”,給出以下函數(shù):
①f()=
②f(
)=2
, ③
④
其中是“有界泛函”的個數(shù)為(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設函數(shù)f()的定義域為R,若存在與
無關的正常數(shù)
,使
對一切實數(shù)
均成立,則稱f(
)為“有界泛函”,給出以下函數(shù):
|
其中是“有界泛函”的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C .3 D.4
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