設(shè)函數(shù),是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù).
(1)求的值,并證明當(dāng)時(shí),函數(shù)是R上的增函數(shù);
(2)已知,函數(shù),,求的值域;
(3)若,試問(wèn)是否存在正整數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,請(qǐng)求出所有的正整數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)如下(2)(3)存在正整數(shù)=3或4
【解析】
試題分析:解:(1)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),,得.
此時(shí),,,即是R上的奇函數(shù).
設(shè),則,
,,,在R上為增函數(shù).
(2),即,或(舍去),
令,由(1)知在[1,2]上為增函數(shù),∴,
,
當(dāng)時(shí),有最大值;當(dāng)時(shí),有最小值,
∴的值域.
(3)=,,
假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù),則,
①當(dāng)時(shí),.
②當(dāng)時(shí),,則,令,則,易證在上是增函數(shù),∴.
③當(dāng)時(shí),,則,令,則,易證在上是減函數(shù),∴.
綜上所述,,∵是正整數(shù),∴=3或4.
∴存在正整數(shù)=3或4,使得對(duì)恒成立.
考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性
點(diǎn)評(píng):本題難度較大。函數(shù)的單調(diào)性對(duì)求最值、判斷函數(shù)值大小關(guān)系和證明不等式都有較大幫助,而求函數(shù)的單調(diào)性有時(shí)可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求。
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A.1 B. C.0 D.-
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設(shè)f(x)是定義域?yàn)?b>R,最小正周期為的函數(shù),若f(x)=,則f
的值等于( )
A.1 B.
C.0 D.-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年吉林省高二下學(xué)期期末測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:選擇題
設(shè)函數(shù)f()的定義域?yàn)镽,若存在與無(wú)關(guān)的正常數(shù)M,使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立,則稱f()為“有界泛函”,給出以下函數(shù):
①f()= ②f()=2, ③ ④其中是“有界泛函”的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)函數(shù)f()的定義域?yàn)?i>R,若存在與無(wú)關(guān)的正常數(shù),使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立,則稱f()為“有界泛函”,給出以下函數(shù):
|
其中是“有界泛函”的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C .3 D.4
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