Question

已知函數f（x）=（ax²-2x）e^-x（a∈R）．
（1）當a≥0時，求f（x）的極值點；
（2）設f（x）在[-1，1]上是單調函數，求出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導，解方程f′（x）=0，分析根兩側導函數的符號，確定是否為極值點；（2）求導，求出函數的單調區(qū)間，根據f（x）在[-1，1]上是單調函數，探討a的不等式，從而求得a的取值范圍．
解答：解：（1）令f′（x）=e^-x[-ax²+2（a+1）x-2]=0（a≥0）
當a=0時，解得：x=1
∵x＜1，f'（x）＜0；?x＞1，f'（x）＞0
∴x=1時，f（x）取得極小值；
當a＞0時，
易得：，從而有下表

∴是函數的極小值點；是函數的極大值點．
（2）當a=0時，由（1）可知，函數在[-1，1]上單減，符合題意；
當a＞0時，若函數在[-1，1]上單增，則解得：a∈ϕ
若函數在[-1，1]上單減，則；或
解得：a∈ϕ
當a＜0時，
若函數在[-1，1]上單增，則；或
解得：a∈ϕ
若函數在[-1，1]上單減，則
解得：
綜合得：時，函數在[-1，1]上是單減函數．
點評：考查應用導數研究函數的極值和單調性問題，體現了分類討論的思想方法，屬中檔題．