Question

某工廠生產(chǎn)某種水杯，每個水杯的原材料費、加工費分別為30元、m元（m為常數(shù)，且2≤m≤3），設(shè)每個水杯的出廠價為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場調(diào)查，水杯的日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例，已知每個水杯的出廠價為40元時，日銷售量為10個．
（Ⅰ）求該工廠的日利潤y（元）與每個水杯的出廠價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每個水杯的出廠價為多少元時，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)日銷量為s，則s=
∵x=40，s=10，∴10=，∴k=10e⁴⁰，∴s=
∴y=（x-30-m）（35≤x≤40）；
（Ⅱ）y′=（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
∴當(dāng)2≤m≤3時，33≤31+m≤34，y′＜0，∴當(dāng)35≤x≤41時，函數(shù)為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=35時，y取最大值，最大值為10（5-t）e⁵．
分析：（Ⅰ）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量，根據(jù)日利潤y=每件的利潤×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實際問題自變量的范圍．
（Ⅱ）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，求出極值點，利用2≤m≤3，可得函數(shù)在35≤x≤41范圍內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．
點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，屬于中檔題．