Question

給出定義：若m-（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．現給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題，其中正確命題的序號是（ ）
①y=f（x）的定義域為R，值域為[0，]； ②y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
③y=f（x）在[-]上是增函數；      ④y=f（x）的圖象關于直線x=（k∈Z）對稱．
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：本題為新定義問題，由已知中若m-（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．因為m為整數，故可取m為幾個特殊的整數進行研究．
解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-＜x≤，f（x）=|x|，
m=1時，1-＜x≤1+，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-＜x≤2+，f（x）=|x-2|，
由圖象可知：
①y=f（x）的定義域為R，值域為[0，]，正確；
②y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，正確；
③y=f（x）在[-]上是增函數，錯誤；     
④y=f（x）的圖象關于直線x=（k∈Z）對稱，正確；
故選D
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數對稱性質的判斷與證明，也是一個新定義問題，考查函數的性質，可結合圖象進行研究，體現數形結合思想．