Question

設(shè){a_n}是集合{2^s+2^t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12…，將數(shù)列{a_n}中各項按照上小下大，左小右大的原則排成如下等腰直角三角形數(shù)表：
3
5   6
9   10   12
…
則第四行四個數(shù)分別為

 

；且a₂₀₁₂=

 

（用2^s+2^t形式表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可歸納出第i行的i個數(shù)是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，由此即可給出出第四行四個數(shù)．再由等差數(shù)列求和公式，得出a₂₀₁₂是第63行的第59個數(shù)，結(jié)合前面總結(jié)出的規(guī)律則不難得到a₂₀₁₂的表達(dá)式．

解答：解：由3=2⁰+2¹，
5=2⁰+2²，6=2¹+2²，
9=2⁰+2³，10=2¹+2³，3=2²+2³，
…
可得第i行的i個數(shù)是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，（i∈N^*）
由此可得第四行四個數(shù)：2⁰+2⁴=17，2¹+2⁴=18，2²+2⁴=20，2³+2⁴=24，
設(shè)a₂₀₁₂在第k行，解不等式1+2+3+…+k≥2012
即

1

2

k（k+1）≥2012，得滿足條件的最小正整數(shù)k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，
由

1

2

×62×63+1=1954，得第63行第一個數(shù)為a₁₉₅₄，
∵2012=1954+58，∴a₂₀₁₂=2⁵⁸+2⁶³
故答案為：17，18，20，24；2⁵⁸+2⁶³

點評：本題給出三角形數(shù)陣，要求我們找出其中的規(guī)律并給出a₂₀₁₂的表達(dá)式，著重考查了等差數(shù)列的通項與求和、數(shù)列的函數(shù)特性等知識，屬于中檔題．