Question

已知 f（x）=cos（

π

2

-x）+

3

sin（

π

2

+x） （x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出周期．
（2）通過(guò)（1）得到的函數(shù)表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)的最大值以及此時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（

π

2

-x）+

3

sin（

π

2

+x）
=sinx+

3

cosx
=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)
=2（sinxcos

π

3

+sin

π

3

cosx）
=2sin（x+

π

3

）
∴T=2π
（2）當(dāng)sin（x+

π

3

）=1時(shí)，
函數(shù)f（x）取最大值為：2
此時(shí)x+

π

3

=

π

2

+2kπ   k∈Z即：x=2kπ+

π

6

  （k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)三角函數(shù)的表達(dá)式的方法，考查三角函數(shù)的最值、周期的求法，考查計(jì)算能力，常考題型．