已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前
項(xiàng)和為
,且
.
⑴求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
⑵設(shè),求證:
;
⑶設(shè),
,求
.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
解析試題分析:(1)一般數(shù)列問題中出現(xiàn)數(shù)列前的和
與其項(xiàng)
時,則可利用關(guān)系
找出數(shù)列的遞推關(guān)系,本題可從此入手,證明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)由(1)可求出
,根據(jù)此式的結(jié)構(gòu)特征,可得
,利用裂項(xiàng)相消法求其前
的和
后再予以判斷;(3)根據(jù)數(shù)列
的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列,應(yīng)緊扣定義,通過對所給條件變形,得到遞推關(guān)系,而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯位相減法,使用這個方法在計(jì)算上要有耐心和細(xì)心,注意各項(xiàng)的符號,防止出錯.
試題解析:⑴證明:,當(dāng)
時,
或
,又
. 1分
由,得
,
數(shù)列
是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列; 4分
⑵證明:由⑴知,
,
. 8分
⑶,
, ①
②
由①-②得,
. 12分
考點(diǎn):等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯位相減法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,對任意
,有
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的通項(xiàng)
,其前n項(xiàng)和為
.
(1)求;
(2)求數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
是
和
的等差中項(xiàng),等差數(shù)列
滿足
,
.
(1)求數(shù)列、
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和
,滿足:
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)
;
(Ⅱ)若數(shù)列的滿足
,
為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,且
=-n
+20n,n∈N
.
(Ⅰ)求通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,點(diǎn)
在直線
上.數(shù)列{bn}滿足
,前9項(xiàng)和為153.
(Ⅰ)求數(shù)列、
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列
的前n和為
,求使不等式
對一切
都成立的最大正整數(shù)k的值.
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已知數(shù)列滿足
,
;
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前
項(xiàng)和
,并求當(dāng)
最大時序號
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且有
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
(Ⅲ)若,且數(shù)列
中的 每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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