如圖,已知圓外有一點(diǎn)
,作圓
的切線(xiàn)
,
為切點(diǎn),過(guò)
的中點(diǎn)
,作割線(xiàn)
,交圓于
、
兩點(diǎn),連接
并延長(zhǎng),交圓
于點(diǎn)
,連續(xù)
交圓
于點(diǎn)
,若
.
(1)求證:△∽△
;
(2)求證:四邊形是平行四邊形.
(1)由切割線(xiàn)定理,及N是PM的中點(diǎn),可得PN2=NA?NB,結(jié)合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,則∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的補(bǔ)角相等可得∠MAP=∠PAB,進(jìn)而得到△APM∽△ABP
(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圓O的切線(xiàn),可證得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形.
【解析】
試題分析:證明:(Ⅰ)∵是圓
的切線(xiàn),
是圓
的割線(xiàn),
是
的中點(diǎn),證明:(Ⅰ)∵PM是圓O的切線(xiàn),NAB是圓O的割線(xiàn),N是PM的中點(diǎn),∴MN2=PN2=NA?NB,又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.∵M(jìn)C=BC,
∴∠MAC=∠BAC,∴∠MAP=∠PAB,∴△APM∽△ABP…(5分)
(Ⅱ)∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA∵PM是圓O的切線(xiàn),∴∠PMA=∠MCP,∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,∴MC∥PD,∴四邊形PMCD是平行四邊形.…(10分)
考點(diǎn):切割線(xiàn)定理,圓周角定理
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切割線(xiàn)定理,圓周角定理,三角形相似的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,熟練掌握平面幾何的基本定理是解答本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆廣東省高一下學(xué)期第一次階段考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(14分)如圖7,.已知圓O:和定點(diǎn)A(2,1),
由圓O外一點(diǎn)向圓O引切線(xiàn)PQ,切點(diǎn)為Q,且滿(mǎn)足
.(1) 求實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系;
(2) 求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值;(3) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年北京市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題9分)如圖:已知圓和定點(diǎn)
,由圓
外一點(diǎn)
向圓
引切線(xiàn)
,切點(diǎn)為
,且滿(mǎn)足
(1)求實(shí)數(shù)間滿(mǎn)足的等量關(guān)系;(2)求線(xiàn)段
長(zhǎng)的最小值;(3)若以
為圓心所作的圓
與圓
有公共點(diǎn),試求半徑最小時(shí)圓
的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年云南師大附中高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試卷4(理科)(解析版) 題型:解答題
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