Question

選作題：考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
A 如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E．
（I）證明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面積S=

1

2

AD•AE，求∠BAC的大�。�
B 已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值．                
C 已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：A（Ⅰ）要判斷兩個(gè)三角形相似，可以根據(jù)三角形相似判定定理進(jìn)行證明，但注意觀察已知條件中給出的是角的關(guān)系，故采用判定定理1更合適，故需要再找到一組對(duì)應(yīng)角相等，由圓周角定理，易得滿足條件的角．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，我們可得三角形對(duì)應(yīng)對(duì)成比例，由此我們可以將△ABC的面積S=

1

2

AD•AE轉(zhuǎn)化為S=

1

2

AB•AC，再結(jié)合三角形面積公式，不難得到∠BAC的大小．
B（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C₁表示一個(gè)圓；曲線C₂表示一個(gè)橢圓；
（2）把t的值代入曲線C₁的參數(shù)方程得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．
C（Ⅰ）由f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，知|x-a|≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，由此能求出a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于|x-2|+|x+3|≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：A（Ⅰ）證明：由已知△ABC的角平分線為AD，
可得∠BAE=∠CAD
因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（Ⅱ）因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，
所以

AB

AE

=

AD

AC

，
即AB•AC=AD•AE．
又S=

1

2

AB•ACsin∠BAC，
且S=

1

2

AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
則sin∠BAC=1，
又∠BAC為三角形內(nèi)角，
所以∠BAC=90°．
B解：（1）把曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）²+（y-3）²=1，
所以此曲線表示的曲線為圓心（-4，3），半徑1的圓；
把C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）化為普通方程得：

x2

64

+

y2

9

=1，
所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為8，短半軸為3的橢圓；
（2）把t=

π

2

代入到曲線C₁的參數(shù)方程得：P（-4，4），
把直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）化為普通方程得：x-2y-7=0，
設(shè)Q的坐標(biāo)為Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ）
所以M到直線的距離d=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(α-θ)-13|

5

，（其中sinα=

4

5

，cosα=

3

5

）
從而當(dāng)cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

時(shí)，d取得最小值

8 5

5

．
C解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
∴|x-a|≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
∵由|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
∴

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=|x-2|，
∵f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴|x-2|+|x+3|≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．
設(shè)y=|x-2|+|x+3|，
由x-2=0，得x=2；由x+3=0，得x=-3．
①當(dāng)x≥2時(shí)，y=x-2+x+3=2x+1≥5；
②當(dāng)-3≤x＜2時(shí)，y=2-x+x+3=5；
③當(dāng)x＜-3時(shí)，y=2-x-x-3=-2x-1＞5．
綜上所述，y=|x-2|+|x+3|≥5．
∴若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m≤5．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，5]．

點(diǎn)評(píng)：A考查與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，B考查參數(shù)方程的應(yīng)用，C考查含絕對(duì)值不等式的解法．它們都是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．