Question

如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，

且．將此平面四邊形沿折成直二面角，

連接，設(shè)中點(diǎn)為．

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）分別證明，即可；（2）方法一：先以為原點(diǎn)，分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，，，，為中點(diǎn)，故，設(shè)點(diǎn)，利用平面得，據(jù)此可解出；方法二：作交于，注意到，故與相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即為平面的法向量，，，要求直線與平面所成角的正弦值，記直線與平面所成角為，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對(duì)值，則知，故只需計(jì)算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以轉(zhuǎn)而考慮與平面所成角，為此需要找到在平面內(nèi)的投影，此投影與所成角即為線面夾角，然后求與平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即為在平面內(nèi)的投影，就等于直線與平面所成角， ，

在中，，，

故.

試題解析：（1）直二面角的平面角為，又，

則平面，所以．

又在平面四邊形中，由已知數(shù)據(jù)易得，而，

故平面，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507024468436266/SYS201411150702485282914286_DA/SYS201411150702485282914286_DA.063.png">平面，所以平面平面 （4分）

（2）解法一：由（1）的分析易知，，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

 

結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得，，，，

則中點(diǎn).

平面，故可設(shè)，

則，

平面，，

又，

由此解得，即，

易知這樣的點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)； （8分）

解法二：（略解）如圖所示，

 

在中作，交于，

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507024468436266/SYS201411150702485282914286_DA/SYS201411150702485282914286_DA.045.png">平面，則有平面．

在中，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識(shí)可以求得，

故知所求點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)； ..（8分）

（3）解法一：由（2）是平面的一個(gè)法向量，又，

則得，所以，

記直線與平面所成角為，則知，

故所求角的正弦值為. ..（12分）

解法二：（略解）如上圖中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507024468436266/SYS201411150702485282914286_DA/SYS201411150702485282914286_DA.082.png">，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，由此，在中作于，易證平面，

連接，則為直線與平面所成角，

結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得，故所求角的正弦值為. ..（12分）

考點(diǎn)：1、線面垂直、面面垂直的證法；2、線面角的求法；3、空間向量的應(yīng)用.