Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5的最小值為m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式|x|+|x+2|＞m．

Answer 1

考點：絕對值不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5的最小值，利用函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5的最小值為m，即可求m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x|+|x+2|≥3，分類討論，去掉絕對值符號，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2|x-2|-x+5=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

顯然，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值m=f（2）=3．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x|+|x+2|≥3，
當x≥0時，不等式可化為：2x+2＞3，解得x＞

1

2

；
當-2＜x＜0時，不等式可化為：-x+x+2＞3，無解；
當x≤-2時，不等式可化為：-2x-2＞3，解得x＜-

5

2

；
故不等式的解集為{x|x＜-

5

2

或x＞

1

2

}．…（7分）

點評：本題考查絕對值不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的實踐能力，正確分類是關(guān)鍵．