Question

4．已知定義域為（1，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
①對任意x∈（1，+∞），恒有f（2x）=f（x）+1成立；
②當滿足x∈（1，2]時，f（x）=sin$\frac{πx}{2}$．求：
（1）f（4）；
（2）f（2ⁿ）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）f（4）=f（2×2）=f（2）+1=sinπ+1=1，
（2）分別求出f（2³），f（2⁴），f（2⁵），得到規(guī)律．

解答 解：（1）當滿足x∈（1，2]時，f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，
∵任意x∈（1，+∞），恒有f（2x）=f（x）+1成立，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+1=sinπ+1=1，
（2）f（2³）=f（2×4）=f（4）+1=2=3-1，
f（2⁴）=f（2×2³）=f（2³）+1=3=4-1，
f（2⁵）=f（2×2⁴）=f（2⁴）+1=4=5-1，
有以上可知，f（2ⁿ）=n-1．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及綜合分析能力和歸納推理的能力，屬于基礎題．