Question

對(duì)于區(qū)間[m，n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a）與f₂（x）=log_a

1

x-a

（a＞0，a≠1）
（1）求f₁（x）-f₂（x）的定義域；
（2）若f₁（x）與f₂（x）在整個(gè)給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，
①求a的取值范圍；
②討論f₁（x）與f₂（x）在整個(gè)給定區(qū)間[a+2，a+3]上是不是接近的．

Answer 1

分析：（1）利用求函數(shù)定義域的方法求函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)的新定義確定a的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閒₁（x）-f₂（x）=log_a（x-3a）-log_a

1

x-a

（a＞0，a≠1），
所以要使函數(shù)有意義，則

x-3a＞0 1 x-a ＞0

，即

x＞3a x＞a

，所以x＞3a．
定義域?yàn)椋?a，+∞）…（1分）
（2）①由3a＜a+2∴0＜a＜1…（2分）
②若f₁（x）與f₂（x）在[a+2，a+3]上接近則|log2(x-3a)-loga

1

(x-a)

|≤1恒成立即a≤(x-3a)(x-a)≤

1

a

…（4分）

∵0＜a＜1∴函數(shù)y=(x-3a)(x-a) 在[a+2，a+3]上單調(diào)遞增∴ymax=9-6a，y min=4-4a ∴ 4-4a≥a 9-6a≤ 1 a ∴0＜a≤ 9- 57 12

因此， 當(dāng)0＜a≤ 9- 57 12 時(shí)，f1(x)與f2(x)在[a+2，a+3]上接近.

當(dāng)

9- 57

12

＜a＜1時(shí)，f1(x)與f2(x)不接近．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題的能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．