對于區(qū)間[m,n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果任意x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是接近的,否則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是非接近的.現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f1(x)=loga(x-3a)與f2(x)=loga
1x-a
(a>0,a≠1)
(1)求f1(x)-f2(x)的定義域;
(2)若f1(x)與f2(x)在整個(gè)給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
①求a的取值范圍;
②討論f1(x)與f2(x)在整個(gè)給定區(qū)間[a+2,a+3]上是不是接近的.
分析:(1)利用求函數(shù)定義域的方法求函數(shù)的定義域.
(2)利用函數(shù)的新定義確定a的取值范圍.
解答:解:(1)因?yàn)閒1(x)-f2(x)=loga(x-3a)-loga
1
x-a
(a>0,a≠1),
所以要使函數(shù)有意義,則
x-3a>0
1
x-a
>0
,即
x>3a
x>a
,所以x>3a.
定義域?yàn)椋?a,+∞)…(1分)
(2)①由3a<a+2∴0<a<1…(2分)
②若f1(x)與f2(x)在[a+2,a+3]上接近則|log2(x-3a)-loga
1
(x-a)
|≤1恒成立
即a≤(x-3a)(x-a)≤
1
a
…(4分)
∵0<a<1∴函數(shù)y=(x-3a)(x-a)
在[a+2,a+3]上單調(diào)遞增∴ymax=9-6a,y min=4-4a
4-4a≥a
9-6a≤
1
a
∴0<a≤
9-
57
12

因此,
當(dāng)0<a≤
9-
57
12
時(shí),f1(x)與f2(x)在[a+2,a+3]上接近.

當(dāng)
9-
57
12
<a<1時(shí),f1(x)與f2(x)不接近
.…(8分)
點(diǎn)評:本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
練習(xí)冊系列答案
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1x-a
(a>0且a≠1),f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
(1)求a的取值范圍;
(2)問f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是否為接近的?請說明理由.

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(1)求f1(x)-f2(x)的定義域;
(2)若f1(x)與f2(x)在整個(gè)給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
①求a的取值范圍;
②討論f1(x)與f2(x)在整個(gè)給定區(qū)間[a+2,a+3]上是不是接近的.

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