Question

已知函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M_t，最小值為m_t，記h（t）=M_t-m_t．則關(guān)于函數(shù)h（t）有如下結(jié)論：
①函數(shù)h（t）為偶函數(shù)；
②函數(shù)h（t）的值域為[1-

2

2

，1]；
③函數(shù)h（t）的周期為2；
④函數(shù)h（t）的單調(diào)增區(qū)間為[2k+

1

2

，2k+

3

2

]，k∈Z．
其中正確的結(jié)論有

 

．（填上所有正確的結(jié)論序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可先求出函數(shù)f（x）的最小正周期為4，由周期性得到h（t+4）=M_t-m_t=h（t），說明h（t）是周期為4的函數(shù)，然后探索-2≤t≤2的函數(shù)f（x）的最值，以及h（t）的解析式，最后畫出它的部分圖象，通過圖象觀察分析得到性質(zhì)，從而判斷正確的結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=sin

πx

2

的最小正周期為

2π

π 2

=4，
∴M_t+4=M_t，m_t+4=m_t，
∴h（t+4）=M_t+4-m_t+4=M_t-m_t=h（t），
即h（t）是周期為4的函數(shù)，
∴對該函數(shù)的性質(zhì)研究，只須探索t∈[-2，2]的性質(zhì)即可．
畫出函數(shù)f（x）=sin

πx

2

的部分圖象，如右圖，
當(dāng)-2≤t＜-1.5，時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為-1，最大值為f（t）=sin

πt

2

，∴h（t）=1+sin

πt

2

；
當(dāng)-1.5≤t＜-1時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為-1，最大值為f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，∴h（t）=1+cos

πt

2

；
當(dāng)-1≤t＜0時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（t）=sin

πt

2

，最大值為f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，∴h（t）=cos

πt

2

-sin

πt

2

；
當(dāng)0≤t＜

1

2

時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為sin

πt

2

，最大值為1，∴h（t）=1-sin

πt

2

；
當(dāng)

1

2

≤t＜1時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，最大值為1，∴h（t）=1-cos

πt

2

；
當(dāng)1≤t＜2時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，最大值為f（t）=sin

πt

2

，∴h（t）=sin

πt

2

-cos

πt

2

．
畫出h（t）的部分圖象，如右圖，
綜上可知，該函數(shù)沒有奇偶性，
函數(shù)的值域為[1-

2

2

，

2

]，函數(shù)的最小正周期為2，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2k+

1

2

，2k+

3

2

]，k∈Z，
故①②錯，③④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性以及應(yīng)用，根據(jù)周期性探索一個周期的情況，分別討論每一個區(qū)間的情況：求出最值，寫出函數(shù)式，最后通過圖象得到有關(guān)性質(zhì)，同時考查函數(shù)的最值和單調(diào)性、奇偶性，是一道難題．