Question

已知向量

m

=（cosx，-1），向量

n

=（

3

sinx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求角C的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差三角函數(shù)，化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用周期公式直接求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求出f（x）在[0，

π

2

]上的最大值3，推出A的值，利用正弦定理即可求角C的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=(

m

+

n

)•

m

=cos2x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+

3

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2
=sin(2x+

π

6

)+2．
因?yàn)棣?2，所以T=

2π

ω

=π．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f(A)=sin(2A+

π

6

)+2，x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)f（x）取得最大值3，
所以2A+

π

6

=

π

2

，A=

π

6

．
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得sinC=

3

2

所以C=

π

3

或

2π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．