Question

已知函數(shù)f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I ）若函數(shù)f（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）若a=1，m＞4（ln2-1），求證：當x＞0時，f（x）＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得，函數(shù)f（x）有極值，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有兩個不等實根，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）-=，設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，證明h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由f（x）=，可得，…．（2分）
依題意，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有兩個不等實根，
則：，…（4分）
解得：a＞1或a＜0．…（5分）
（Ⅱ）證明：若a=1，f（x）=，
∴f（x）-=，
設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
設(shè)g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，…（7分）
令g′（x）＜0，則0＜ln2；令g′（x）＞0，則x＞ln2；
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）上單調(diào)減，在（ln2，+∞）上單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，…（11分）
∵1+x²＞0，∴＞0，
∴f（x）-=＞0，
即f（x）＞．…（12分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查函數(shù)思想的運用，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．