設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜
1
a
．
（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f （x）＜x1；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0＜
x1
2
．
證明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因為x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x1）（x-x2）．
當x∈（0，x1）時，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
即x＜f（x）．
x1-f（x）
=x1-[x+F（x）]
=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因為0＜x＜x1＜x2＜
1
a

所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x1．
（Ⅱ）依題意知x0=-
b
2a

因為x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-
b-1
a
，x0=-
b
2a
=
a(x1+x2)-1
2a
=
ax1+ax2-1
2a

因為ax2＜1，所以x0＜
ax1
2a
=
x1
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足f（-1）=0，對于任意的實數(shù)x都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，f（x）≤(
x+12
)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：a＞0，c＞0；
（3）當x∈（-1，1）時，函數(shù)g（x）=f（x）-mx，m∈R是單調(diào)的，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜
1
a
，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，則有（　�。�
A、x0≤
x1
2
B、x0＞
x1
2
C、x0＜
x1
2
D、x0≥
x1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個零點，求a2+b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足：當x=1時，f（x）取得最小值1，且f(0)=
32
．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實數(shù)m，n，使x∈[m，n]時，函數(shù)的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實數(shù)m，n；若不存在，則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，則有（　�。�

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