Question

如圖，AB為圓柱的底面直徑，過母線的截面ACEF是邊長為1的正方形，
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面BEF與平面BCF所成的二面角為60°，求圓柱的底面直徑AB的長．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過圓柱母線的截面ACEF是正方形，從而截面ACEF⊥平面ABC，AE⊥CF，又AC⊥BC，從而BC⊥截面ACEF，進而BC⊥AE，由此能證明平面ABE⊥平面BCF．
（Ⅱ）平面BEF與平面BCF所成的二面角為60°，設(shè)AE∩CF=M，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCF，過E作EH⊥BF于H，連接MH，則MH⊥BF，由此能墳出直徑AB長．

解答： （Ⅰ）證明：∵過圓柱母線的截面ACEF是正方形，
∴截面ACEF⊥平面ABC，AE⊥CF，
又AB為圓柱底面直徑，∴AC⊥BC，
∴BC⊥截面ACEF，∴BC⊥AE，
又∵CF∩BC=C，
∴AE⊥平面BCF，又AE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCF．
（Ⅱ）解：平面BEF與平面BCF所成的二面角為60°，
設(shè)AE∩CF=M，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCF，
過E作EH⊥BF于H，
連接MH，則MH⊥BF，∴∠EHM=60°，
設(shè)BC=t，則BE=

t2+1

，EH=

t2+1

t2+2

，
在Rt△EMH中，
依題sin∠EHM=

2 2

t2+1 t2+2

=

3

2

，
∴

t2+1

t2+2

=

2

3

，
解得t=1，
∴直徑AB長為

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直徑長的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．