Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，則2a₈+a₇的最小值為

54

．

Answer 1

分析：龜文鳥跡題意知a_n＞0和公比q＞0，由通項(xiàng)公式代入式子：2a₄+a₃-2a₂-a₁=8化簡，得到a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
同理化簡2a₈+a₇，再把上式代入用q來表示且化簡，設(shè)x=

1

q2

并構(gòu)造函數(shù)y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，再求導(dǎo)、求臨界點(diǎn)和函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，代入2a₈+a₇的化簡后式子求出最小值．

解答：解：由題意知等比數(shù)列{a_n}中a_n＞0，則公比q＞0，
∵2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，∴2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，則a₁（2q+1）（q²-1）=8，
則a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
∴2a₈+a₇=a₁（2q+1）•q⁶=

8

q2-1

×q⁶=

8

1 q4 - 1 q6

，
設(shè)x=

1

q2

，則x＞0，設(shè)y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，
則y′=2x-3x²=x（2-3x），令y=0得，x=0或

2

3

，
當(dāng)0＜x＜

2

3

時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞

2

3

時(shí)，y′＜0，
∴函數(shù)y=x²-x³在（0，

2

3

）上遞增，在（

2

3

，+∞）上遞減，
∴當(dāng)x=

2

3

時(shí)，函數(shù)y取到最大值是(

2

3

)2-(

2

3

)3=

4

27

，
則

8

1 q4 - 1 q6

取到最小值是8×

27

4

=54，
即2a₈+a₇的最小值為54，
故答案為：54．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，換元法、構(gòu)造函數(shù)法，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的應(yīng)用，屬于數(shù)列與函數(shù)結(jié)合較難的題，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．